Lineární regrese


Lineární regrese je důležitá metoda, jak z experimentálně naměřených bodů získat přímku. V dnešní době se to samozřejmě dělá s pomocí vhodného softwaru, ale v tomto článku si ukážeme, jak získat rovnici regresní přímky výpočtem.

Z měření získáme takovou tabulku dat:

x y
1 0,4
2 1,85
3 3,3
4 4,2
5 5,5
6 5,9
7 6,99
8 8,8
9 9,2
10 10,6
Naměřená data

Naměřená data

Je vidět, že body na přímce neleží. Existuje několik metod, jak spočítat rovnici regerese. Nejjednodušší pro ruční výpočet je metoda nejmenších čtverců. Rovnice přímky má obecný tvar:

$$y = ax + b$$

a je směrnice přímky a b je úsek na ose y. Koeficienty vypočítáme pomocí vzorců:

$$a = \frac{\sum x \sum y – n\sum (xy)}{(\sum x)^2 – n\sum x^2}$$

$$b = \frac{\sum x \sum (xy) – \sum (x^2)\sum y}{(\sum x)^2 – n\sum x^2}$$

kde n je počet bodů.

Tabulku bude nutné pro výpočet rozšířit:

# x y x2 xy
1 1 0,4 1 0,4
2 2 1,85 4 3,7
3 3 3,3 9 9,9
4 4 4,2 16 16,8
5 5 5,5 25 27,5
6 6 5,9 36 35,4
7 7 6,99 49 48,93
8 8 8,8 64 70,4
9 9 9,2 81 82,8
10 10 10,6 100 106
55 56,74 385 401,83

Získané součty dosadíme do rovnic:

$$a = \frac{\sum x \sum y – n\sum (xy)}{(\sum x)^2 – n\sum x^2} = \frac{55 * 56,74 – 10 * 401,83}{55^2 – 10 * 385} = 1,088$$

$$b = \frac{\sum x \sum (xy) – \sum (x^2)\sum y}{(\sum x)^2 – n\sum x^2} = \frac{55 * 401,83 – 385 * 56,74}{55^2 – 10 * 385} = -0,31$$

Rovnice regrese je tedy:

$$y = 1,09x – 0,31$$

Grafické zobrazení:

Lineární regrese

Lineární regrese

Toto je jednoduchá ukázka, jak spočítat lineární regresi pro sadu dat. Samozřejmě jednodušší je využít tabulkový procesor, nebo kalkulačku se statistickými funkcemi.

Další kapitoly