Ideální plyn – řešené příklady

Pro výpočet budeme potřebovat molární objem, pro zadané podmínky má hodnotu 22,414 dm³.mol^-1. Látkové množství snadno vypočítáme ze zadané hmotnosti a molární hmotnosti.:

$$\textrm{V = n . V}_{\textrm{m}}\ =\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\textrm{ . V}_{\textrm{m}}$$

pro dusík bude tedy výpočet vypadat:

$$\textrm{V(N}_2\textrm{)}\ =\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\textrm{ . V}_{\textrm{m}}\ =\ \frac{80}{28,01}\textrm{ . }\ 22,414\ =\ 64,02\ \textrm{dm}^3$$

a pro chlor:

$$\textrm{V(Cl}_2\textrm{)}\ =\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\textrm{ . V}_{\textrm{m}}\ =\ \frac{80}{70,91}\textrm{ . }\ 22,414\ =\ 25,29\ \textrm{dm}^3$$

80 g dusíku zaujímá objem 64,02 dm³, 80 g chloru 25,29 dm³.

V tomto případě jde o izochorický děj, tzn. děj probíhající za konstantního objemu. Stačí nám tedy vzít v úvahu pouze teplotu a tlak. Obě veličiny je nutno převést na základní jednotky (Pa a K):

$$\frac{\textrm{p}_1}{\textrm{T}_1}\ =\ \frac{\textrm{p}_2}{\textrm{T}_2} \\
\textrm{p}_2\ =\ \frac{\textrm{p}_1\textrm{ . T}_2}{\textrm{T}_1}\ = \frac{100\ 000\ .\ 523,15}{298,15}\ =\ 175\ 465,4\ \textrm{Pa} \\
\textrm{p}_2\ =\ 175,47\ \textrm{kPa}$$

Ohřevem dojde ke zvýšení tlaku v nádrži na hodnotu 175,47 kPa.

Pro výpočet budeme potřebovat stavovou rovnici ideálního plynu:

p . V = n . R . T

Pomocí této rovnice vypočítáme látkové množství helia:

$$\textrm{n}\ =\ \frac{\textrm{p . V}}{\textrm{R . T}}\ =\ \frac{3,0\ .\ 10^6\ .\ 0,05}{8,314\ .\ 298,15}\ =\ 60,51\ \textrm{mol He}$$

Ze zásobníku jsme vypustili 85,0 g helia, toto množství musíme odečíst od původního množství:

$$\textrm{n}_2\ =\ \textrm{n}\ -\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\ =\ 60,51\ -\ \frac{85,0}{4}\ =\ 39,26\ \textrm{mol He}$$

Nové látkové množství pak stačí dosadit do stavové rovnice a vypočítat tlak:

$$\textrm{p}\ =\ \frac{\textrm{n}_2\textrm{ . R . T}}{\textrm{V}}\ =\ \frac{39,26\ .\ 8,314\ .\ 298,15}{0,05}\ =\ 1,95.10^6\ \textrm{Pa}\ =\ 1,95\ \textrm{MPa}$$

Nejprve musíme spočítat objem zásobníku, využijeme opět stavovou rovnici ideálního plynu:

$$\textrm{V}\ =\ \frac{\textrm{n .R . T}}{\textrm{p}}\ =\ \frac{\frac{50}{32} . 8,314 . 298,15}{387 000} = 0,010\ \textrm{m}^3$$

Původní objem je tedy 10 dm³, po zmenšení to bude 6,5 dm³. Tlak pak vypočítáme snadno:

$$\textrm{p}\ =\ \frac{\textrm{n .R . T}}{\textrm{V}}\ =\ \frac{\frac{50}{32} . 8,314 . 298,15}{0,0065} = 594\ 917\ \textrm{Pa}$$

Po zmenšení objemu se tlak v zásobníku zvýší na 595 kPa.

Pro výpočet použijeme stavovou rovnici ideálního plynu:

p . V = n . R . T

Tlak musíme převést na Pa, 10 atmosfér odpovídá 1 013 250 Pa a teplotu na kelviny – 1073 K:

$$\textrm{V}\ =\ \frac{\textrm{n.R.T}}{\textrm{p}}\ =\ \frac{1\ .\ 8,314\ .\ 1073}{1\ 013\ 250}\ =\ 0,0088\ \textrm{m}^3$$

Objem jednoho molu ideálního plynu za zadaných podmínek je 8,8 dm³.

Opět vyjdeme ze stavové rovnice ideálního plynu:

p . V = n . R . T

Látkové množství spočítáme snadno:

$$\textrm{n}\ =\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\ =\ \frac{500}{28,01}\ =\ 17,85\ \textrm{mol N}_2 \\
\textrm{p}\ =\ \frac{\textrm{n . R . T}}{\textrm{V}}\ =\ \frac{17,85\ .\ 8,314\ .\ 298,15}{0,002}\ =\ 22\ 124\ 411,8\ \textrm{Pa}\ =\ 22,12\ \textrm{MPa}$$

Izotermickým stlačením dojde k nárůstu tlaku, podle vztahu:

p₁ . V₁ = p₂ . V₂

Z rovnice vidíme, že zmenšením objemu na polovinu naroste tlak na dvojnásobek. Toto si můžeme ověřit výpočtem:

$$\textrm{p}_2\ =\ \frac{\textrm{p}_1\textrm{ . V}_1}{\textrm{V}_2}\ =\ \frac{22\ 124\ 411,8\ .\ 0,002}{0,001}\ =\ 44,24\ \textrm{MPa}$$

Tlak v nádobě byl 22,12 MPa, po zmenšení objemu došlo k nárůstu tlaku na dvojnásobek, 44,24 MPa.

Tlak vypočítáme ze stavové rovnice ideálního plynu:

p . V = n . R . T

Musíme proto vypočítat látkové množství helia a teplotu převést na Kelviny:

$$\textrm{n}\ =\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\ =\ \frac{50}{4}\ =\ 12,5\ \textrm{mol He}\\
\textrm{T = } 273,15 + 0 = 273,15\ \textrm{K}$$

Nyní stačí jen dosadit do stavové rovnice:

$$\textrm{p}\ =\ \frac{\textrm{n . R . T}}{\textrm{V}}\ =\ \frac{12,5\ .\ 8,314\ .\ 273,15}{0,05}\ =\ 567,742\ \textrm{kPa}$$

Přídavkem kyslíku (O₂) dojde samozřejmě k navýšení tlaku. Nejprve musíme spočítat jeho látkové množství:

$$\textrm{n}\ =\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\ =\ \frac{500}{32}\ =\ 15,625\ \textrm{mol O}_2$$

Jelikož nás u ideálního plynu zajímá pouze počet částic, a ne jejich typ. Můžeme obě látková množství sečíst, v nádobě bude tedy 12,5 + 15,625 = 28,125 mol plynu a tuto hodnotu dosadíme do stavové rovnice:

$$\textrm{p}\ =\ \frac{\textrm{n . R . T}}{\textrm{V}}\ =\ \frac{28,125\ .\ 8,314\ .\ 273,15}{0,05}\ =\ 1,277\ \textrm{MPa}$$

Tlak v nádobě s heliem bude 567,7 kPa, po přídavku kyslíku vzroste na 1,277 MPa.

Tlak je konstantní, jedná se tedy o izobarický děj. Tím získáme jednodušší variantu rovnice ideálního plynu:

$$\frac{\textrm{V}_1}{\textrm{T}_1}\ =\ \frac{\textrm{V}_2}{\textrm{T}_2}$$

Zajímá nás hodnota V₂, tu vypočítáme snadno:

$$\textrm{V}_2\ =\ \frac{\textrm{V}_1}{\textrm{T}_1}\ .\ \textrm{T}_2\ =\ \frac{0,005}{273,15}\ .\ 473,15\ =\ 0,0087\ \textrm{m}^3$$

Objem nádoby musíme zvětšit na 8,7 dm³.

Jde v podstatě o výpočet molárního objemu za daných podmínek, budeme tedy vycházet ze stavové rovnice ideálního plynu, kterou si upravíme pro výpočet objemu:

$$\textrm{V = }\frac{\textrm{n R T}}{\textrm{p}}$$

teď už stačí jen dosadit hodnoty, za látkové množství dosadíme 1, zajímá nás objem 1 molu plynu:

$$\textrm{V = }\frac{\textrm{n R T}}{\textrm{p}}\ =\ \frac{1\ .\ 8,314\ .\ 273,15}{101\ 325}\ =\ 0,0224\ \textrm{m}^3 \\
\textrm{V = }\frac{\textrm{n R T}}{\textrm{p}}\ =\ \frac{1\ .\ 8,314\ .\ 773,15}{1\ .\ 10^6}\ =\ 0,00643\ \textrm{m}^3$$

Za daných podmínek bude objem 1 molu plynu: 1) 22,4 dm³; 2) 6,43 dm³.

Tlak vypočítáme z rovnice ideálního plynu, musíme jen správně převést objem a teplotu na základní jednotky:

$$\textrm{n(He) = }\frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\ =\ \frac{5}{4}\ =\ 1,25\ \textrm{mol}\\
\textrm{p = }\frac{\textrm{n . R . T}}{\textrm{V}}\ =\ \frac{1,25\ .\ 8,314\ .\ 423,15}{0,01}\ =\ 439\ 758\ \textrm{Pa}\ =\ 439,758\ \textrm{kPa}$$

Po přídavku kyslíku dojde samozřejmě ke zvýšení tlaku, budeme uvažovat ideální chování obou plynů. Pak můžeme jednotlivá látková množství sečíst a dosadit do rovnice:

$$\textrm{n(O}_2)\ =\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{M}}\ =\ \frac{50}{32}\ =\ 1,56\ \textrm{mol}\\
\textrm{p = }\frac{\textrm{n . R . T}}{\textrm{V}}\ =\ \frac{(1,25\ +\ 1,56)\ .\ 8,314\ .\ 423,15}{0,01}\ =\ 988\ 577\ \textrm{Pa}\ =\ 988,577\ \textrm{kPa}$$